Diffusion and Fokker-Planck Equation

本文简略的介绍了物理上的扩散过程以及描述扩散分布演化的关键的 Fokker-Planck 方程，目的在于提供直观，并为扩散模型铺垫。

扩散过程

• 在我们的理论框架中，扩散模型与流模型的区别主要在于前者引入了随机性。具体的，我们知道后者站在流体力学的角度刻画了概率流；而前者则是通过扩散过程来描述概率演化的。设想这样的简化情景：向一杯热水中滴入墨水，若将液体视作大量粒子的集合，则墨水粒子一方面受到重力场的作用向下沉降，另一方面受到水分子的随机撞击而做布朗运动。那么单个墨水粒子将会具备随机的迹，而在稀溶液中近似认为粒子间相互独立，因此大量做独立随机运动的粒子在宏观上服从一定的分布，也就体现为墨水最终扩散到了环境当中。下面我们将简要的介绍扩散过程的建模。

拉普拉斯算子

• 拉普拉斯算子形式上是对标量场的梯度做散度。我们可以期待拉普拉斯算子和散度所表述的意义是相似的，不同点在于前者更像是某种内驱的性质，而后者则是外驱的。例如我们知道连续性方程表达了质量通量密度的散度恰为密度随时间的变化率，即刻画了密度分布随时间受外力（速度场）影响的变化。另一方面，如果各位熟悉物理的话，我们有热扩散方程： 其中 表示空间中温度的分布， 为热扩散率。此时 为热流场，描述了热传导的速度，其散度便描述了局部的热密度变化率。从而整体 便起到了和散度类似的作用，但其刻画的是温度场 内驱的热量分布演化。

Fokker-Planck Equation

• 考虑 中的粒子，假设其一方面受确定的速度场 影响做漂移，另一方面受到大量随机运动的水分子的碰撞而扩散。假定扩散的强度以与位置无关的函数 表示，则综合这两者，粒子的轨迹 应当服从伊藤形 SDE ： 现在我们希望考察宏观上分布的性质。对于粒子的概率分布 ，其描述了 处的微小体元内出现粒子的概率，服从： 仿照流体力学的连续性方程，我们希望找到某种方式以描述宏观分布与微观速度的关系。这就是 Fokker-Planck 方程：

  • 【定理 1. Fokker-Planck Equation】对于概率路径 ，以及伊藤形 SDE ： 则 ，当且仅当以下的 Fokker-Planck 方程成立：

  证明：[Admitted]

  • Remark. 观察 Fokker-Planck 方程的形式，其由漂移项和扩散项构成，后者形式上与热扩散方程相似，不同之处在于扩散模型关注的是粒子的扩散，而热方程关注的是能量的扩散。也许可以认为热扩散中的分子也会做布朗运动，不过具体的建模似乎是有区别的。

扩散项的推导

• Fokker-Planck 方程直观上说的事情是，空间中每一点处概率密度的变化一方面来自于速度场的确定性流，另一方面来自于扩散的随机流。而前者的影响与先前的连续性方程相同，此处着重介绍后者。不妨考虑带有常系数 的布朗运动： 在扩散过程中，我们知道 ，这就是说 的量纲应为 ，从而 的量纲为 。我们期待： 上式直观上的解释可以参照热扩散方程，此处我们主要提供较为严格的证明路线。考虑 上的简单对称随机游走¹，假定粒子从原点出发，以时间步长 每次向 维的正负总共 个方向等概率移动距离 。令 表示时刻 时粒子处在 的概率，其服从： 其中 。将右侧写成离散拉普拉斯算子的形式： 其中： 可以证明其为对拉普拉斯算子的离散模拟。这样： 固定： 则对于任意时刻 ，式： 成立。令 ，上式收敛到： 这便为 Fokker-Planck 方程的扩散项提供了直观。

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1. 可以证明这模拟了布朗运动。↩︎