Basic Fluid Mechanism

我本来以为这门课很快可以结束的，但是其中实在是有太多我没有学过的东西了。因此，为了严谨性和直观性，我们还是要特别的谈点物理基础。

流与常微分方程的定义

• 我们此处引入流的目的主要是为了描述空间中的概率流这一对象，各位如果接触过量子力学可能会对这一概念有印象。不同之处在于，量子力学中的概率分布建模的是粒子在空间中的每一点出现的概率；而生成模型中的概率分布则基本用于对空间中的点采样。

  概率流这一概念描述的是分布随时间的变化。更确切的说，我们知道空间中的概率总量必然是守恒的，那么随着时间的变化，概率就如同流体般在空间中流淌，造成了局部的密度变化。因此，我们将在这里介绍一些基本的流体概念，为流模型做准备。

• 考虑 中的可压缩流体¹ ，假设其在空间中每一处的密度在时刻 服从密度函数 。现在我们将流体看成由无数流体元²所构成，假设在 处的流体元具备质量 。对于时间 ，我们知道流体中的每一点在每个时刻的速度，其由向量场 描述。那么对于函数 ，考察方程： 应描述了最初位于 处的流体元在流体运动过程中的位移，我们将 称作迹。特别的，上式定义为常微分方程（Ordinary Differential Equation）。进一步，我们考察 中全体点的变化，即定义流： 使得：

• 我们期待该方程描述了流体运动导致的空间各处的变化，而这是有保障的。其中的一个重要定理是：

  • 【定理 1. 流的存在与唯一性】若场 在定义域上连续可微，并且导数有界，则 存在唯一的在定义域上连续可微的解 。进一步，对于任意 ， 是微分同胚，即 连续可导并且具备唯一的逆映射 。

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  • Remark. 以上定理的要求在深度学习中几乎总是满足。以下我们将介绍使用深度神经网络来拟合 的方法，而神经网络作为 Lipschitz 函数的有限次复合也总是 Lipschitz 的。另外，以上定理也保证了 总是一个双射。

常微分方程的数值解

• 给定向量场 ，我们要如何求解常微分方程？这实际上是一个很难的问题，对于一般的 ，解析解是很难找到的。所以我们要介绍一些数值方法，主要是 Euler' Method 。

  • 【Euler's Method】对于常微分方程： 将 均匀的划分为 段，得到 ，总计 个分界点。记 ，按照： 递推得到 。

  • Remark. 我们期待 可以很好的近似真实的结果，而这一点的确是有保障的。确切的说，我们可以证明 。³

散度

• 散度是一个向量算子，其作用于向量场，得到一个标量场。以描述某一时刻流体速度的场 为例，对于 中的有向曲面 ，定义 在 上的通量为： 其中 代表面元 的法向量。特别的，若 是封闭的，约定法向量 朝外。直观上通量描述了 上向量场的流通倾向，即单位时间内穿过曲面 的流量。现在我们希望考察流量这一概念在局部的性质，这便要使用散度描述。具体的，向量场在 处的散度使用记号 表示，取一包裹 的微小体元 ，其表面为曲面 ，散度定义为： 即通过 的流量与体积 之比的极限。要导出散度的计算方法，考虑高斯公式。在笛卡尔坐标系中将 参数化为坐标的函数，以三维为例，即 ，则由高斯公式： 再由微分中值定理，得到： 从而： 这就是笛卡尔坐标系下散度的计算公式。进一步，通过高斯公式，散度（在要求一定可微性时）总是可定义的，此时闭曲面内散度对体积的积分等价于该闭曲面的通量。直观上这就是在说曲面内微小体元的通量在积分时一来一去抵消掉了，只有 表面的通量会剩下来。

连续性方程

• 观察以上对于散度的定义，其描述了局部流量对体积的比。对于均匀的不可压缩流体，其内部每一点处的总流量都应为零；而对于可压缩流体，令其每一点处的密度由 表示，则向量场 就描述了每一点处的质量的流动倾向，其量纲为 ，称为质量通量密度，对曲面上的 积分即得质量通量，而该场的散度就是质量通量与体积的比，量纲为 ，其应描述了局部的密度变化。以上的叙述由连续性方程保证：⁴

  • 【定理 2. Continuity Equation】对于空间中质量守恒的流体，其运动遵循 。则其每时刻的密度为 、速度为 （要求均在定义域上可微），当且仅当：

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  • Remark. 连续性方程直观上是在说，我们知道流体在每一时刻的密度，因此对 做关于时间的导数就得到了某一点处密度随时间的变化率。另一方面质量通量密度 的散度就是局部的质量通量与体积之比，恰为密度的变化率。

流的叠加

• 我们在这里特别要介绍流的叠加，因为这个模型将在概率流的条件场的边缘化部分用到。具体的，我们要考虑的是充分混合的多组分流体的平均速度场。假定现在空间中有 种不同的流体，第 种流体的速度场为 ，对应的密度为 ，我们以某种方式均匀的混合这些流体，使得每单位体积中第 种流体的体积分数为 ，这样可以直接的得到混合流体的密度为： 将这一多组分的系统看作单一的混合物，则我们希望找到一个速度场，使其满足以上的密度分布。我们的工具是【定理 2. Continuity Equation】。对于待定的平均速度场 ，应有： 考虑： 而 Continuity Equation 是充分必要的，再考虑到速度场的唯一性，就有： 而右式的系数恰为第 种流体在该处的质量占比。这样我们就知道服从混合密度分布的流体的速度场必然满足上式。特别的，上式是符合直观的，然而严格的证明仍依赖于质量守恒和连续性方程。

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1. 例如， 中的气体。此处我们要求流体是可压缩的，因为概率流的密度当然不是恒定的。↩︎

2. 宏观小微观大，因此仍然具备体积和质量。↩︎

3. 我本来是想在这里给出一个简要的推导的，但是我发现一维的情况推广到高维时有一些细节。反正一维的情况是简单的，高维的推广是直观的，因此我们就暂且略过了。↩︎

4. 我是来讲数学的，不是来讲物理的。以上的所有物理概念可能在数学的角度上并不严谨，但所幸我们的证明并不依赖于这部分内容，其仅仅是提供直观而已。而与生成模型相关的部分我们是可以保证严谨性的。↩︎