代数扩张与多项式的分裂域

这里我们将重点研究域的扩张的性质。本文还没有写完，大概还缺少伽罗瓦群，以及另外一些的讨论。

代数扩张

• 我们先前讨论过一般的扩张的形式，对于 ，以 为例， 形式上一般是 的商域。然而注意到有时我们可以期待 。我们期望探究这样的关系在怎样的条件下成立，这就引出了代数扩张。

代数元

• 对于 ， ，若存在 使得 ，则称 为 上的代数元，否则称超越元。

• 若 中的每个元素都是 上的代数元，则称 是 的代数扩张，否则称超越扩张。

  特别的， 上的代数元也称代数数。

极小多项式

• 对于 ， ：

  • 若 是 上的超越元，则 ，其中 为 的商域。
  • 若 是 上的代数元，则 ，其中 是 中以 为根的不可约多项式。

• 要证明该定理，我们考虑同态基本定理。先考虑环同态： 这显然是一个满同态。现在我们考虑 ，若 是超越元，必然 ，这说明： 进一步 ¹，也就是说超越元在代数上其实和一般的代数对象没什么区别。而若 是代数元， ，说明其必然具备生成元 ，使得 ，同时 。考虑到 是包含 作为根的多项式里次数最低的一个，其必然是不可约的，从而 是域，即 本身就是域。

• 对于代数元的情况，我们将首一的 称作 的极小多项式，记作 ，并称 为 在 上的次数，记作 。关于极小多项式，有一些非常优美的结果：

  • 对于 上的代数元 ，记 ， ，有：
    • 。
    • 是 的有限扩张，使得 。使用带余除法即可得到该结果。
    • 中的任意元素可以唯一的表为 ，其中系数 。按照 的次数最小性即得该结果。

  该定理基本上是在说 就是 ，并且 关于 的维恰为 的次数，而 的方幂恰好是 的基。

• 另外容易证明任何有限扩张一定也是代数扩张，但是发过来就不一定。

代数扩张与代数闭域

• 另外，可以证明：若 是代数扩张，且 是代数扩张，则 也是代数扩张。考虑任意 ，必然存在多项式 使 。考虑 的全体系数，不妨记作 ，它们必定是 的代数元。这说明扩张 一定是有限的，从而 是 代数元，即 。
• 代数闭包/代数闭域。

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1. 可以证明若两个环同构，则它们的商域也同构。↩︎