域上的向量空间与扩域

我们从这里开始系统性的研究域以及域上多项式环的性质，并证明一些重要的定理。

线性空间

• 线性空间显然是大家之前就学过的东西，所以我们这里要谈的线性空间自然要从抽象代数的角度引入一点新的看法。

域上的线性空间

• 对于阿贝尔群 与域 ，若对于任意 可以确定唯一的元素 ，使得对任意的 ， 均有：

  1. 。
  2. 。
  3. 。
  4. 。

  则称 为 上的线性空间（向量空间）， 称基域。

• 一个有趣的观点是，对于域 ，考虑其子域 ，则我们总是可以将 看作 上的向量空间，这是因为 中的元素和 中的元素的运算显然具备封闭性，但反过来就不一定。

扩域

• 对于域 若 ，且 继承了 的运算规则，则称 是 的扩域， 是 的子域。

  扩域是一个重要的看法，因为我们常常要做扩域的操作，或者是以扩域为手段研究其它的问题。例如由环的特征我们知道任意域必然具备素子域，其要么同构于 要么同构于阶为素数的有限域。实际上素子域的情况有时太过于简单，我们会倾向于选择的特定子域来讨论。

• 对于 ，及 的非空子集 ，定义 为 中包含元素 的最小的域。

  注意到 中子域的交仍是子域，所以 是良定义的。

  若 ，则记 ，称其为 的单扩域或单扩张。

扩域的组成

• 我们先考虑 是哪些元素组成的。由于 ，说明 的方幂也都在 中，进而说明 ， 。再由封闭性 ， 。从而容易验证：

• 再考虑对于 ，记 ，显然： 容易验证：

扩域的维度

• 熟知对于扩域 ，我们可以将 视作 上的线性空间。一个自然的问题是，这个线性空间的维度是多少，基是什么。我们先回答第一个问题。若 上 是有限维的，则称有限扩域（扩张），否则称无限扩域（扩张）。 在 的维数称 关于 的扩张次数，记作 。

• 对于多次的有限扩张，有一个重要的结论。考虑 ，我们有： 这个结论看起来比较深刻，但是证明非常简单。具体的，我们取 在 上的基和 在 上的基，容易验证这些基的笛卡尔积张成了 ，并且它们是线性无关的。

域论基本定理

• 对于域 ， 是 中次数大于 的多项式¹，则必然存在 的扩域 ，使得 在 中有根。

• 这个定理非常深刻，而且证明也非常有趣。考虑到 是 ED ， 必然具备素因式 。考虑商环 ，由于 不可约，这是一个域。考虑典范映射： 显然这是一个单射，即 是域 到 的嵌入。从而由环扩张定理，存在 与同构映射 使得 ，即 。现在考虑元 使 ，注意到： 后者是 的零元，说明 。其实一个更方便的看法是直接考虑 ，由于商环的定义，我们有： 这其实说明，对于任意的域 上的不可约多项式 ，其在域 恰好有根，并且其为 。

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1. 的次数定义为 。↩︎