MATH2203 里面只涉及了这里的一部分内容，但华师大的书上所有前置命题其实都是为证明 UFD 上的多项式环也是 UFD 服务的。鉴于这个命题比较优美，我们还是简单谈一下。

唯一分解整环上的多项式环

• 为了说明 UFD 上的多项式环也是 UFD ，我们先发展一些理论工具。

本原多项式

• 对于 UFD ，若其上的多项式： 满足 ，则称 为 上的本原多项式。

• 本原多项式具备一些简明的性质。首先，对于 UFD ，令其商域为 ，考虑 ：

  • 存在 及本原多项式 ， 使得 。若 ，则有 。
  • 若另有 及本原多项式 使 ，则 。

高斯引理

• 在不同的文献中高斯引理可能指代不同的东西，但这里指：

  • 本原多项式的积仍是本原多项式。

  证明：对于本原的： 令其积为 。若 非本原，则必然存在不可约的 使得 为 的系数的公因子。不妨考虑 系数从低到高第一个不整除 的下标 ，对 取类似的 。现在我们考虑 的 次系数，其恰为： 显然其不整除 ，产生矛盾。从而 必然是本原的。

• 由高斯定理，可以得到：

  • 对于 UFD 上本原的 ，其在 中可约当且仅当在 中可约。

  该条件的必要性是显然的，我们考虑其充分性。对于在 中可约且在 上本原的 ，令其可被分解为： 考虑 上的本原的 ，使得： 由高斯引理， 是本原的，因此 ，则在 上就有： 说明 在 上可约。以上定理还可以用于结合爱森斯坦判别法判定 上多项式的可约性。

UFD 上的多项式环

• 下面我们要证明任何 UFD 上的多项式环 也都是 UFD 。具体的，我们考虑证明以下两点：

  • 的任意非零非幺元都具备不可约分解。
  • 上素元等价于不可约元。

  这样通过先前的归纳我们就可以说明不可约分解的唯一性。先考虑命题一，对于 的任意非零非单位元 ，考虑 的商域 ，我们在 上对 做分解。由于 是域， 是 ED ，因而必然是 UFD ，从而 上的分解一定是可做的。接下来，使用 上的本原多项式替换 中的分解，并通过高斯引理，即可得到 上 的不可约分解。

  对于命题二，证明和先前也是类似的，基本是通过本原多项式、 作为 ED 的性质、以及高斯引理证明，这里也就不赘述了。

• 以上，可以看出，我们之所以要发展本原多项式和高斯引理，是为了建立 和 上多项式的联系，从而把 这一性质不那么好的环上的问题在 这一性质极好的环（ED）上找到对应，从而方便的处理。