主理想整环与欧几里得整环

本篇简要介绍了主理想整环与欧几里得整环。

主理想整环

• 一个有趣的事实是，对于任意 使 ，必然存在 使 。我们知道在 UFD 中可以定义 ，但是我们却不能期待一样的定理。更确切的说，以上事实需要更强的条件，即所谓的主理想整环（Principal Ideal Domain），PID 。

主理想整环的定义

• 主理想整环：对于整环 ，若 的任意理想都是主理想，则称 为主理想整环。

  容易看出，PID 的理想的生成元在相伴意义下是唯一的。

主理想整环与唯一分解整环

• 由我们最开始的叙述，我们期待 PID 是比 UFD 更强的性质，而我们的确可以证明这一点，即任意 PID 都是 UFD 。为此，我们先考虑以下性质：

  • PID 上的真因子链必然是有限长的。证明：对于 PID ，考察其上的任意真因子链： 考察其生成理想，我们有： 取全体生成理想的交，容易验证其也是一个理想，从而其必然具备生成元 。这就是说必然存在 使 ，即 。然而 ，从而 ，即真因子链长度有限。

  • PID 上的以下条件等价：

    • 是素元； 是不可约元； 是极大理想； 是素理想。

    其中 ，及 都比较简单。而 则要用到之前的定理，即极大理想等价于商环是域，素理想等价于商环是整环，这就说明极大理想一定是素理想。

  这样，由真因子链的有限长及素元与不可约元等价，即得 PID 一定是 UFD 。

最大公因子

• 我们在 UFD 中定义 的办法是通过唯一分解，但实际上唯一分解是不好做的。而在性质更好的 PID 上，我们可以直接用主理想来定义 。即，考虑 ，定义 ，使得： 现在我们验证 符合先前定义的性质：

  • 显然 且 ，即 是 的公因子。

  • 对于任意 ，必然存在 使 ，从而对于任意 ，有： 其中 ，说明 ，即 ，从而 。

欧几里得整环

• 不妨想想我们在 上怎么求取最大公因子，怎么求解二元不定方程：我们的办法是欧几里得算法。现在我们希望把欧几里得算法也推广到整环上，这就是欧几里得整环（Euclidean Domain），ED。具体的，欧几里得算法的核心是带余除法，因此我们希望把带余除法推广到整环上。考虑：

  • 对于整环 ，若存在欧式映射： 使对于任意 ，存在 ，使得： 其中 或 ，则称 为欧几里得整环。

• 欧几里得整环是强于 PID 的，进而也强于 UFD 。

  证明：对于 ED 的任意理想 ，取其中欧式映射值最小的元 ，显然 ，我们断言 。假设存在 的任一元 使其不是 的倍数，则对其做带余除法得到： 其中 ，与 的最小性矛盾，因此这样的 不存在，即 。

• 下面我们介绍一个非常重要的定理，其刻画了域上多项式环的结构：

  • 对于域 ，多项式环 为 ED ，因而也是 PID 与 UFD 。

  这个定理的证明相对比较简单，大概是因为 的系数是域，因此带余除法总是可以做的，因此 自然是 ED 。¹

• 通过带余除法，我们可以将欧几里得算法扩展到 ED 上。这样的操作其实比较简单，理论上的细节基本和 上的情况一致，所以我们也就不细说了。

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1. 尽管如此，这种定理的证明一般不会直接通过归纳，即一直做带余除法或者找 之类的。一个好的做法是构造欧式映射值的集合，通过下界存在及离散性直接找到最小者，并（通过反证法）直接论证其就是目标对象。↩︎