本篇简要介绍了整环的整除理论与唯一分解整环。

唯一分解整环

• 我们知道在 上有算数基本定理，也称整数的唯一分解定理。我们期望将其扩展到其余的环上，这就是唯一分解整环。由于零因子是非常不好的性质，以下我们只考虑整环。

整除

• 对于整环 ，及 ，若存在 使 ，则称 整除 ， 是 的因子， 是 的倍数，记作 。

• 以上定义的整除有一些较平凡的性质，这里就不谈了。值得一提的是在 上我们有： 而在整环 上这一点就不一定成立。具体的： 这说明 都是可逆的。而环 的全体存在乘法逆的元素构成了一个乘法群，我们将该群称作 的单位群，其中的元素称单位。可以看出，单位在整除中的地位基本等同于 中的 ，即不影响整除关系。我们将 中可以通过乘单位得到的两个元 称作相伴，记作 ，它们在整除中基本等价。

• 现在我们考虑整除与理想的关系。对于整环 上元素 的生成理想 ，其恰为 ，即 恰为 的全体倍数。这样我们就可以发现： 这其实是一个非常有趣的观点。

素元与不可约元

• 上的唯一分解必然由素数的幂的积组成，因此我们自然希望将素数这一概念推广到整环上。我们知道 上的素性等价于不可约性，但有趣的是在整环上这一点不一定成立。具体的，我们先定义整环的素元与不可约元。

• 不可约元： 上非零非幺且无真因子的元素。

  素元： 上非零非幺的元素 ，使得对任意 ，若 则有 或 。

  显然素元或不可约元的相伴元也都分别满足素性或不可约性。

• 在整环上，素元必定是不可约元。

  证明：不妨假设素元 是可约的，则存在非单位的 使得 ，从而 ，即 或 。不妨设 ，显然有 ，即 ，与 的非单位矛盾。

• 容易看出，整环上素元的生成理想一定是素理想。然而一个有趣的事实是，不可约元的生成理想不一定是极大理想，这一条件需要更强的约束，即以后会提到的 PID 。

唯一分解整环的定义

• 在一般的整环上，不可约元不一定是素元。¹但是在某一类特殊的环上，我们其实可以证明这一点，这就是本文的中心，唯一分解整环（Unique Factorization Domain），UFD。具体的：

  1. 对于整环 ，考虑其非零非幺的元素 ，若存在有限多个不可约元使得 使得： 则称 具备不可约分解。

  2. 若 具备不可约分解，并且其在相伴的意义下是唯一的，则称 具备唯一分解。

  对于整环 若其中的每一个非零非幺元素均具备唯一分解，则称 为唯一分解整环。

• UFD 上任意不可约元都是素元。

  证明：考虑不可约的 ，与任意的 。若 ，则存在 使 。显然 中的任一这都不能是幺元，因此对它们分别做唯一分解，得到 。显然这两个分解必须在相伴意义上相等，从而存在 使 ，那么 就整除包含 作为因子的 中的一者。

整环的真因子链

• 我们之所以要介绍真因子链，是因为真因子链是一个有用的证明工具。具体的：

  • 对于整环 ，考虑其中的一列元素： 若对于任意 ， 是 的真因子，则称其为 的真因子链。

• 在 UFD 中，任意真因子链都是有限的。这是一个简单的定理，因为任意真因子的唯一分解必然是其倍数的真子集。

• 整环 是 UFD 的充要条件是， 的任意真因子链有限，且其中的不可约元必然是素元。

  必要性是显然的，因此我们简要叙述充分性的证明：

  1. 由真因子链有限得到 中任意元素的不可约分解必然存在。
  2. 通过归纳法，及不可约元等价于素元，得到 中任意元素的分解必然唯一。

最大公因子

• 这里我们对 UFD 定义 。在 PID 中会有更方便的方式，但是鉴于其无法推广到 UFD 上，我们还是详细说一下。考虑整环 ，对于 ，若 满足：

  • 是 的公因子，且对于 的任一公因子 均有 。

  则称 是 的最大公因子，记作 。

• 在 UFD 中，任意两元素都具备 。这是一个简单的定理，通过唯一分解性，再加上不可约元等价于素元，容易说明对于任意 ， 恰为其唯一分解的交。

• 另外可以仿照 上定义互素，并验证一些 的简明性质。说到底，因为唯一分解的存在， 上的整除理论很大程度上和 差不多。

范数

• 我们其实在分析上定义过范数这一概念，其基本是对距离的度量。但是此处代数上的范数这一概念其实和分析上有所不同。具体的，我们主要对于

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1. 后面举例。↩︎