环、域、理想与商环

总体来说，环和域是描述运算和多项式的工具。我们知道，群是一个相对简单的结构，和我们实际上使用的代数结构，例如实数和多项式，是有区别的，而对这些对象的抽象就是环和域。

环和域的定义

• 环：对于非空集合 ，及二元运算 ，称 构成环，若：

  1. 构成阿贝尔群。
  2. 构成半群，即只要求结合律。
  3. 对 具备分配律。即 。

  虽然我们看似对 不要求结合，但是这一点可以由分配律保证。特别的，若 具备交换律，称 交换环；若 具备幺元，称含幺群。

  另外，环对 的要求其实很低，以至于可能出现零因子，即 ，其中 称左零因子， 称右零因子。并且对于 的左逆存在时不能保证右逆存在。

  此外，若 关于 构成环，则称 是 的子环。

• 整环：由于零因子是一个极不好的性质，我们常常要求其不含零因子，这就是整环：无零因子的含幺交换环。

  域：即要求 是阿贝尔群。显然域必然是整环。

  除环：即要求 是群。

理想与商环

• 总体来说，我们期望把商群和群同构定理推广到环的情况下，所以我们对应得到了商环和理想。

理想的定义

• 对于环 ， 为其子环，使得 ，则称 为 的理想。

• 理想具备一些比较好的性质，例如：

  • 的任意有限多个理想的和仍是理想。其中环的和定义为 。
  • 的任意多个理想的交仍是理想。

• 由于理想的交仍是理想，我们可以对于 的子集 定义包含其的最小理想，即全体包含 的理想的交，并称其为 的生成理想，记作 。特别的，若 仅包含单一元素 ，则称 为主理想。

  生成理想可以被显式的表述为：

  • 对一般环： ，其中环的积定义为 ，环的数乘定义为： 显然 ，因此要验证 ，只需验证 是理想即可。

  • 对交换环： 。

  • 对含幺环： 。

  • 对含幺交换环： 。

商环的定义

• 借助理想，我们可以定义商环。对于环 与其理想 ，考虑其相对加法的商群 ，我们对于乘法定义同样的对应关系，即： 其中 ，即 关于加法的左陪集。现在我们希望验证，选取理想可以保证以上乘法的良定义，更确切的说，理想是可以做商环的充要条件。

  先证必要性。对于任意的 与 ，应有： 取 ，从而 ，这就是说 必然是理想。

  再证充分性，即对理想做商群后的乘法是良定义的。我们期待 有： 后者显然成立。

  进一步，容易证明 对于以上规定的运算构成环，称其为 对 的商环。