环同态、素理想、极大理想与环的特征

本篇进一步讨论了一些环的性质。

环同态

有了商环以后，我们就可以试着推广群同态定理了。为此，我们先定义环同态。

环同态的定义

• 对于环 ，若存在映射 ，使其对于任意 保持：

  1. 。
  2. 。

  则称 为同态。特别的，当 是双射时，也称同构。特别的，对于环 与理想 ，我们时常会见到同态 使得 ，该同态称作自然同态。

环同态基本定理

• 类似的，我们定义环同态的核 ，容易验证 是 的理想，因此我们可以做商环 。而环同态基本定理则指出：

  • 对于满同态 ，有环同构：

  这里无意对环同态基本定理提供严格的证明，不过使用群同构定理应该可以比较简单的证明。

素理想与极大理想

基本上，素理想与极大理想描述了原先的环的性质，并且可以通过商环构造出一些性质较好的环。

素理想

• 对于交换环 ，其真理想 ，若对于任意 ，可以得到 或 ，则称 为 的素理想。

• 对于含幺交换环 ， 为其理想，则 是 的素理想当且仅当 是整环。

  先证必要性，对于 ，显然 ，由于 是素理想，就有 或 ，即 或 。

  再证充分性，对于任意 ，由自然同态 ，再由整环 或 ，说明 或 。

极大理想

• 对于交换环 ， 是 的真理想。若包含 的理想仅有 和 ，则称 为极大理想。

• 对于含幺交换环 ， 为其理想，则 是 的极大理想当且仅当 是域。

  先证必要性：由于 含幺交换， 是真理想，有 非平凡且含幺。因此对于任意的 ，考虑理想 ，注意到 ，由 是极大理想，有 。由生成理想的结构，必然存在 使 ，即： 从而逆元存在，即 是域。

  再证充分性：由于 是域，必然 ，则 是 的真理想。假设存在真包含 的理想 ，则存在 使 ，即 。那么必然存在 使得 ，即 。由吸收性 ，且 ，故由封闭性 ，即 ，从而由吸收性 ，即 是极大理想。

• 另外，容易看出，对于含幺交换环 ， 的任意极大理想都是素理想，这是因为域必然是整环。

环的特征

其实我本来想在这写点什么东西，但是我什么都不会写不出来。

特征的定义

• 对于环 ，若存在最小的正整数 ，使得对于任意 ，有 ，则称 为 的特征，记作 。若这样的 不存在，则称 的特征为 。

• 对于带有幺元的环，特征的定义可以被简化，其实际上等价于幺元的加法阶，这一点是容易验证的。记幺元 的加法阶为 ，则有 ，并且 。另一方面，对于任意 ，有： 这说明 。

• 实际上有一个比较强的定理是，任意整环的特征要么为 ，要么为素数。为此，考虑幺元的加法阶，记其为 。若 可以被分解为 ，则： 由于 是整环，就有 或 ，与阶的最小性产生矛盾，因此 必然是素数。

整数环的典范映射

• 一个有趣的例子是，对于含幺环 ，我们常常考虑这样的环同态： 其中 是 的幺元。这其实是一个 到 的典范映射，它的好处是 ，从而方便我们研究 的特征。通过这个典范映射，容易证明：

  • 特征为 的环包含同构于 的子环。特征为 的域包含同构于 的子域。
  • 特征为 的环包含同构于 的有限域。