多项式环与整环的商域

本篇介绍了环的扩张定理，并严格的定义了多项式环与整环的商域。

多项式环

• 多项式环实际上是环和域的理论中所要讨论的中心对象之一。

环的扩张定理

• 为了严格的定义多项式环，以及后续的一些应用，我们先要介绍这个工具，即：
  • 对于环 与 使得 ，若存在单同态 ，则必然存在与 同构的环 使得 ，与同构 ，使得 。其中 指映射 以 为定义域的部分。
• 证明：[Admitted]

多项式环的定义

• 我们往往把系数在环 上的多项式的全体记作 ，并且容易验证， 本身也是一个环。实际上我们习惯使用这样的记号，以至于常常忽视 本身并没有被严格的定义。一些文献中将 称作文字或者符号，而我更愿意直接称其为代数对象。尽管如此，我们仍然希望为 做严格的定义，而这则是通过扩环实现的。然而由于时间上的原因，我们暂时不会详细介绍这一点，尽管我其实挺希望深入的，因为扩环得到 的过程其实可以自然的导出形式幂级数环，而这是一个非常重要的工具。

整环的商域

• 给定一个环，我们自然希望找到包含该环的域。然而这样的域显然不是普遍存在的，例如对于含零元环这样的域就显然不存在。所以我们限定范围为整环，这样包含整环的域就一定是可以构造的了。具体的，我们都知道整数环可以自然的推广到有理数域，因此我们可以考虑模仿该过程。具体的，我们将在这里简述对于任意整环构造包含其的域，称作商域，的步骤：

  1. 对于整环 ，考虑集合 。

  2. 在 上定义等价关系 ，使得对于 ，有： 这一步要用到整环的性质。

  3. 用 对 做商集得到 ，仿照有理数规定其加法与乘法，并验证 是域。注意这里用 对 做商集是必须的，否则会导致结构混乱，例如出现多个幺元和零元。

  4. 考虑 到 的典范映射，其为环同态。对其用环扩张定理，即得另一环 使得 且 。特别的，我们其实可以期待 满足：