浅谈近世代数

本文是我复习近世代数的时候写的，其中略过了讲群的部分，因为虽然我还不熟悉每个定理的证明，但这些理论的脉络和直观是较为明晰的。本文的主题将是环和域的理论，加上有限群的西罗定理的证明。另外由于本人很可能没有精力去深究每个部分的详细证明，我们会侧重于更重要的理论框架。

本文将仍然采用多篇的形式，本篇是全文的目录。

目录

1. 西罗定理的证明

   这是我们涉及到的群理论中最复杂的部分，所以我们将单独讨论其。本篇还没写完。

2. 环、域、理想与商环

   总体来说，环和域是描述运算和多项式的工具。我们知道，群是一个相对简单的结构，和我们实际上使用的代数结构，例如实数和多项式，是有区别的，而对这些对象的抽象就是环和域。

3. 环同态、素理想、极大理想与环的特征

   本篇进一步讨论了一些环的性质。

4. 多项式环与整环的商域

   本篇介绍了环的扩张定理，并严格的定义了多项式环与整环的商域。

5. 唯一分解整环

   本篇简要介绍了整环的整除理论与唯一分解整环。

6. 主理想整环与欧几里得整环

   本篇简要介绍了主理想整环与欧几里得整环。

7. 域上的向量空间与扩域

   我们从这里开始系统性的研究域以及域上多项式环的性质，并证明一些重要的定理。

8. 代数扩张与多项式的分裂域

   这里我们将终点研究域的扩张的性质。本文还没有写完，大概还缺少伽罗瓦群，以及另外一些的讨论。