记号与约定

群的类方程

定理：对于群有：其中为非中心元素的所有共轭类的代表元。
证明：首先，注意到中的每一个元素都处在大小为的共轭类中，因此以上定理是良定义的。我们令共轭作用于自身，则每一个共轭类都是一个轨道。那么对于包含非中心元素的共轭类的代表元，恰为的稳定子群。由轨道-稳定子群定理，等于所在轨道的大小。而轨道是的分划，则原定理得证。

引理：若有限交换群的大小为，则对于的任一素因子，必然存在阶为的元素。

证明：对做归纳。当，结论显然成立。否则任取的非幺元元素，记。若，即存在使得，则显然恰为。而若，令，则，说明存在商群，且。由归纳假设，存在阶恰为的元素，记作。我们有：而，这说明。由，有，即，则。由于，有，则归纳成立。
定理：对于群与，若，其中，则必然存在阶为的子群。
证明：对做归纳。当时，结论显然成立。否则考察的类方程：若，而显然是交换群，则由引理，一定存在使得。记，显然为的正规子群，因此商群存在。注意到，由归纳假设，存在阶子群，考虑：也就是的全体元素的并。容易验证，是的子群，并且其大小恰为。

而若，则必然存在使得，说明。考虑到，有。则由归纳假设，必然存在大小为的子群，其也为的子群。则归纳成立。

定理：对于与群，若，则。
证明：令，。考察在上的作用：¹ 这样就把分解为若干轨道的并。令轨道总数为，第个轨道的代表元为，则有：我们希望考察：现在考虑的稳定子群，我们考察它们的积²：这就把分解为若干的右陪集的并。从而：由轨道-稳定子群定理：从而若，则。而当，有，那么：我们希望证明恰为的子群数。对于这些轨道，由，必然存在，使得。定义映射，则有。对于与同轨道的，应存在使得，即，因此的轨道上的集合全为的左陪集，使得。显然是单射，因为每一个的轨道是不同的；另一方面对于任意子群，其可以对应一个，因为该的左陪集可以组成一个轨道。这样，就说明了轨道数等于子群数。从而：当为循环群时：而左侧是一个常数，说明：