西罗定理的证明

感觉中科大那本书的证明写得有点烂啊。

阅读本文需要一定的群论基础。

记号与约定

• 本文中讨论的群总是有限的。我们先要给出一些定义：

  • 群：对于 ，若群 的阶为 的方幂，则称 为 群。

  • 子群：对于 ，群 为群 的 阶子群， 。若 ，则称 为 的 子群。

  • ：对于群 与 ，令 代表群 的 阶子群的个数。

西罗定理

• 以下我们分两部分证明西罗定理。

第一部分

• 定理：对于 与群 ，若 ，则 。

• 证明：令 ， 。考察 在 上的作用：¹ 这样就把 分解为若干轨道的并。令轨道总数为 ，第 个轨道的代表元为 ，则有： 我们希望考察： 现在考虑 的稳定子群 ，我们考察它们的积²： 这就把 分解为若干 的右陪集的并。从而： 由轨道-稳定子群定理： 从而若 ，则 。而当 ，有 ，那么： 我们希望证明 恰为 的 子群数。对于这些轨道，由 ，必然存在 ，使得 。定义映射 ，则有 。对于与 同轨道的 ，应存在 使得 ，即 ，因此 的轨道上的集合全为 的左陪集，使得 。显然 是单射，因为每一个 的轨道是不同的；另一方面对于任意 子群，其可以对应一个 ，因为该 的左陪集可以组成一个轨道。这样，就说明了轨道数等于 子群数。从而： 当 为循环群时： 而左侧是一个常数，说明：

第二部分

• 懒得写了。直接看华师大近世代数的证明吧。说实在的，华师大的证明比中科大的高到不知哪里去了。

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1. 作用简记为左乘。↩︎

2. 形似笛卡尔积。↩︎